Есть счет в российском банке. Если прописки не будет, то что может сделать банк? Cчет мне обязательно нужен для оплаты всяких вещей.

Вы должны/можете уведомить банк о своём переезде сами, однако по сути обычно это происходит по инициативе банка, который время от времени должен обновлять данные своих клиентов. После этого, так как после выписки вы перестаёте быть валютным резидентом РФ (!валютный резидент и налоговой резидент - который про 183 дня - это разные вещи)!, ваши счета должны быть закрыты, но вы можете открыть счёт для нерезидентов в вашем банке, если у них есть такая услуга.

Как всё это вылядит конкретно на практике решает отдельный банк сам. Однако надо помнить, что все эти действия может кто-то сделать за вас по генеральной доверенности.

Если нет прописки, то и медицинский полис недействителен, т.е. и к врачу не сходить и скорою не вызвать?

Если честно, я не понимаю, зачем вам ходить к российскому врачу по медицинскому полису, но, действительно, он не будет действовать. К вашим услугам всегда платная медицина.

Вызов скорой - это отдельная вещь, скорую можно вызвать всегда. Теоритически он обязаны вас принять (если есть показание к госпитализации), на практике - опять-таки можно за плату.

Имеется имущество, за которое я плачу налоги. Как быть с налоговой? У них же человек должен фигурировать с каким-то адресом.

Налоговая вас не забудет, не переживайте.

Если у вас есть личный кабинет налогоплатильщика (nalog.ru), всё будет приходить туда (как уже и приходит). Там же вы можете произвести оплату онлайн.

Если нет - квитанция будет приходить на ваше имя по адресу вашей недвижиости. Но советую личный кабинет завести в любом случае.