Выход из гражданства РФ - сколько занимает?
Я бы не имел ничего против проверки данных консульством, которая длится до 6 месяцев
Консульство не проводит никаких проверок (ну кроме правильности оформления пакета документов). Оно лишь принимает от Вас необходимые документы и перенаправляет их ближайшей дипломатической почтой в Москву.
Проверку заявления проводят совсем другие ведомства на территории РФ. Сюда входит в том числе запрос в архив ЗАГСа по месту рождения заявителя, отсюда к примеру и разные сроки обработки для одновременно подданных заявлений одной семьи.
я могу ошибаться, но эта тема с справкой о задолженности введена, чтобы отсеять людей еще на стадии подачи доков в консульство, чтобы не перегружать ведомство, которые будут время трвтить на отсылания отказов. Люди будут жаловаться, что 62€ в консульстве зря потратили и тд. А с такой отсортиррвкой ведомствам меньше головной боли.
Напишите им еще раз. И еще раз. 
Когда-нибудь тот, кто открывает емели, ответит. Только не пишите, что на их странице нет информации, просто задайте вопрос, есть ли какие-нибудь требованя с российской стороны к сроку действия EBZ (кроме немецкого в 2 года) для подачи документов на выход из российского гражданства.
Ой, ну Вы нашли эксперта. 
Какой из меня эксперт...
Как Вы думаете, стоит ли писать в МИД по поводу статуса обработки заявления (после трех месяцев с подачи документов) или это все равно ничего не принесет и процесс все равно не ускорит?
Нууууу... Иногда пишут такие запросы, да. Но время на ответ у них по закону 30 дней, так что могут и через месяц ответить. Обычно, если полгода с момента приема документов еще не прошло, такой запрос никак не ускоряет продвижение документов, но и не замедляет, Вас всего лишь оповестят, что происходит с документами в настоящий момент. Однако такой запрос действительно может иметь смысл в том случае, если из МИДа вдруг ответят, что документы уже рассмотрены и соответствующая информация отправлена в консульство, а консульство с Вам еще не связалось. В этом случае можно связываться с консульством и интересоваться, почему они не оповещают.
Чтобы специально врали по поводу статуса документов в МИДе, пожалуй, не припомню, а
вот что в консульстве могут написать простую отписку (типа "мы Вас оповестим, когда придет решение, просим не беспокоить"), хотя ответ уже у них, такое, к сожалению, бывает.
На какой email, не знаю.
Обычно создают личный кабинет на странице электронной приемной МИД и отправляют обращение через имеющуюся там форму. https://lk.mid.ru/index.php?he4u=image&pIm=nd_ .
Посмотрите предыдущие сообщения в этой теме, кажется, там был неоднократно описан и использован именно этот вариант.