Ой, ну Вы нашли эксперта. Какой из меня эксперт...

Как Вы думаете, стоит ли писать в МИД по поводу статуса обработки заявления (после трех месяцев с подачи документов) или это все равно ничего не принесет и процесс все равно не ускорит?

Нууууу... Иногда пишут такие запросы, да. Но время на ответ у них по закону 30 дней, так что могут и через месяц ответить. Обычно, если полгода с момента приема документов еще не прошло, такой запрос никак не ускоряет продвижение документов, но и не замедляет, Вас всего лишь оповестят, что происходит с документами в настоящий момент. Однако такой запрос действительно может иметь смысл в том случае, если из МИДа вдруг ответят, что документы уже рассмотрены и соответствующая информация отправлена в консульство, а консульство с Вам еще не связалось. В этом случае можно связываться с консульством и интересоваться, почему они не оповещают.

Чтобы специально врали по поводу статуса документов в МИДе, пожалуй, не припомню, а вот что в консульстве могут написать простую отписку (типа "мы Вас оповестим, когда придет решение, просим не беспокоить"), хотя ответ уже у них, такое, к сожалению, бывает.