Hallo,
ich habe eine Matheaufgabe, für die ich einen Tipp bräuchte.

Ich würde zuerst nach der dritte Zeile entwickeln und die Determinante errechnen, die Gleichung gleich 0 setzen und a daraus errechnen.
Ist es richtig? Kann mir jemand ein Tipp geben?
Danke vorab

По-моему, тут без разницы, по какой строке раскрывать детерминант, - все равно в итоге придется решать кубическое уравнение. А вот как его решать, - это в задаче самое сложное.

я тогда сначала до кубического уравнения дорешаю, а там посмотрим
Спасибо за совет, так я хоть знаю, что вроде на правильном пути :)

дорешайте до кубического, потом методом подстановки определите первый корень уравнения, это, как правило, +1 или -1; разделите полином третьей степени на полином первой, получите полином второй степени. Представте полином третьей степени в виде произведения полиномов первой и второй степеней, а там уж вс╦ просто.

так и сделал
надеюсь, правильно
Буду очень признателен, если кто-нибудь сможет проверить.

Честно говоря, я не понял, то что написано после того, как вы нашли детерминант. Решать кубические уравнения нас не учили. Но похоже, что и детерминант вы нашли неверно. Я загнал матрицу в Maple, и вот что у меня получилось (в прикр. файле). Так что придется проверить выкладки.
Хотя и Maple иногда ошибается.

Вижу сразу ошибки. Когда раскрываешь матрицу по какой-то строке, то надо следить за знаком. Если индекс строки и столбца этого элемента четный, то знак "+", если нечетный, то "-"
Например 4 имеет индекс 31, а 1 - индекс 32. Перед 1 и перед последней 1 в этой строке должен быть "-".

а у меня ни +1, ни -1 не подхдит...И почему обязательно делить на (а-1) или на (а+1) ? Или вы ответ знаете?

Спасибо большое, пойду ещ╦ прочитаю про Maple (интересно!)
Мне кубическое уравнение вот это помогает решить
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
но думаю, что лучше будет мозгами пошевелить и самому разобраться без программ, а их использовать только для проверки

Спасибо Rius,
просто и понятно пояснил!

а я как раз смотрю на свое сообщение и вижу, что фигня написана! :)
Не сам индекс надо проверять на четность и нечетность, сумму цифр в индексе. Т.е. для индекса 31 3+1 = 4 - четная, для 32 - нечетная.
Остальное про знаки правильно.

Понял, вроде с вашей помощью, начал немного соображать :)
Посмотрите если не трудно теперь, думаю теперь вс╦ правильно.

Извините, но когда вы по строке выносите 3, там у вас минор неправильный.

Извинясь если сообщаю известные истины, но может пригодится:
если у кубического уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена. Если есть хотя бы 1 такой корень но можно все уравнения разделить на (x-n) где n это корень, таким образом понизив степень.

Млин, Maple даже для студентов 110 евро стоит
Жаль!

У меня тоже такое же кубическое уравнение получилось. Корни считать лень. надеюсь у вас правильные, т.к. ход решения верный.

Попробуйте хотя бы по двум строкам разложить матрицу, у вас получится система из кубическох уравнений. вычитая их друг из друга, можно избавитъся от куба и решать квадратное уравнение. Правда у меня тоже не целые корни получились.

Ммм. Никак такое не может получиться. Неважно по какой строке раскладывать, уравнебия должны получиться одинаковыми и следовательно при вычитании дать ноль.

Вообще-то матрица и есть система уравнений.

Вы предложили раскладывать матрицу по двум разным строкам. Стало быть выражать детерминант двумя разными способами. Но т.к. детерминант у матрицы один, то каким бы способом его не выражали, он всегда будет одинаковый. В этом задании он должен быть равен нулю

Да, естественно детерминант один у матрицы, в данном случае мы приравниваем его к нулю. Но уравнения при разложении по строкам(столбцам) вовсе не обязательно пропорциональны. Попробуйте сами.

У меня ещ╦ один маленький вопрос.
В задании стоит, что надо реальные(ое) числа(о) найти.
У меня два имагинальных числа получилось и одно реальное, значит правильный ответ это одно единственное число и оно равно 1,821204127493655
Правильно?

Надо определиться с терминологией. Что вы понимаете под "разложении по строкам(столбцам)"? По-моему вы имеете в виду что-то совсем другое, чем формулу для определения детерминанта. Я не могу попробовать, т.к. не знаю, что конкретно вы имеете в виду.

Нет, я это задание не прорешивала; я написала, как его можно решить теоретически. По поводу корней уравнения ответил sirrius

Чем больше смотрю на это задание, тем все более странным оно мне кажется.
Насчет reellen чисел, вы правы. Только одно решение подходит, хотя в условии задачи намекают на то, что должно быть не одно.
Кроме того мне в дискуссии с Celli у меня возникла идея, что на самом деле это задание можно решить без вычисления детерминанта.
Матрица с детерминантом = 0, является вырожденной, т.е. у нее должны быть линейно зависимые строки или столбцы. Думаю, что в этом задании подразумевалось нахождение таких а, при которых какие-то строки или столбцы имеют пропорциональные элементы. Но я не нахожу таких, на первый взгляд, да и вычисленное значение для а, методом приравнивания детерминанта к 0, также не тривиально.
Подозреваю, что в этом задании ошибка в условии.

Да, задание "потогонное". я уже и методом Гаусса оставляла в третьей строке одну единицу (остальные зануляла пут╦м перемножения остальных столбцов и складывания между собой). Вс╦ равно получается кубическое уравнение, которое на множители не разлагается...мдя....

Celli, извините, но я все равно не понимаю, каким способом вы решаете это задание. Методом Гаусса решают системы уравнений, но какое отношение это имеет к данной задаче? Может напишете подробнее?

Вообще-то методом Гаусса так же находят и детерминант матрицы: элементарными преобразованиями над строками матрица приводится к верхнетреугольному виду, а затем вычисляется произведение диагональных этементов, - это и есть детерминант.

ОК.
Но я все же предпочитаю пользоваться стандартной терминологией и считать метод Гаусса - методом последовательного исключения переменных в системе линейных уравнений для нахождения решения этой системы.
То, что вы описали, это разрешенные действия над строками и столбцами в матрице для приведения ее к треугольному виду с последующим нахождением детерминанта (выражения получится точно такое же, как и без приведения к треугольному виду).
Конечно суть этих операций над строками и есть то же самое, что применяется в методе Гаусса. Но конечная цель метода Гаусса это не нахождение детерминанта, а решение самой системы.
Из предыдущих постингов Celli у меня сложилось ощущение, что она пытается из данной матрицы составить систему уравнений и решить ее. Возможно я ошибаюсь, но к сожалению, Celli, так и не обьяснила, что она имеет в виду, говоря, например "Попробуйте хотя бы по двум строкам разложить матрицу, у вас получится система из кубическох уравнений. вычитая их друг из друга, можно избавитъся от куба и решать квадратное уравнение"
Так что эти непонятки длятся уже пару дней.

Извините, подробней расписывать у меня просто нет времени, вы можете сами где-нибудъ посмотретъ про матричное исчисление, может и какая-нибудъ идея в голову прийд╦т- лучше того что я предлагала. А про систему уравнений, это вы правильно поняли, только к сожалению у меня так и не получилосъ.

А как могут поулчится имаргинальные числа при решении !кубического! уравнения. Кубичесткая функция в общем виде биективна.

У меня два числа нерациональных получается, типа = 1,0893979362531725 - 1,9092354753965355∙î
Может я ошибаюсь и это не имагинальные числа.
----------------------------------------------------------------------------------------------
Насч╦т задачи я очень сильно подозреваю, что Rius правильный подход предлагает
Элементарными преобразованиями необходимо упростить матрицу, но как???? Никак ума не приложу!
Млин, 4 пункта для классной работы никак не могу раздобыть.

Почему не может быть? Вот пример кубического полинома:
x³+x²+3x-5
Первое решение очевидно x=1. Полином можно разложить на множители
(x-1)(x²+2x+5). Теперь если искать корни квадратного трехчлена, то получим отрицательный дискриминант, а значит их можно записать как комплексые числа.

Я забросил в гугл условие задачи и нашел в нескольких местах такую же задачу, но с немного другой матрицей. Например здесь (задание 9).
http://deana.math.tuwien.ac.at/peter/blatt6.pdf
У меня впечатление, что профессор, который дал вам эту задачу, решил чуть-чуть изменить саму матрицу, но сделал это довольно неудачно. Для той матрицы, что в ссылке, одно из решений видно невооруженным взглядом. 1-я и 3-я строки имеют пропорциональные элементы при а=1 и это и будет одно из значений при которых детерминант = 0.
Но возможно профессор дал именно такую матрицу, чтобы без нехождения дискриминанта и решения кубического уравнения было не обойтись.
В любом случае вы можете попытаться проверить нет ли для каких-нибудь строк или столбцов такого значения а, при котором они пропорциональны. И написать в решении этой задачи, что проверка на пропорциональность не дала никаких целочисленных результатов, поэтому выбирается метод нахождения дискриминанта и приравнивания его к нулю.

Celli, мне знакомо матричное исчисление, я когда-то это даже преподавал. Пожалуйста не обижайтесь на мои попытки добиться от вас вашего решения.
Видимо во мне проснулось преподавательское прошлое не оставлять студента с неправильно решенной задачей и обьяснить ему в чем ошибка. Поэтому мне хотелось сначала взглянуть на ход вашего решения.
Но попробую без этого.
Для того чтобы из этой матрицы составить систему уравнений, надо бы иметь еще столбец свободных членов. Т.е. матрица должна быть расширенной. Мы же имеем здесь нерасширенную матрицу. ОК. Мы можем сделать вид, что столбец свободных членов это все 0 и записать все уравнения в правой части с 0.
Тогда получим первое уравнение такое (а-1)x1 + ax2+2x3+(3-a)x4 =0
Аналогично можно записать три остальных. Теперь вопрос что нам это дает?
Ответ ничего. Решать такую систему, где вместо числовых коэффициентов стоят выражения довольно муторно и в конце получатся решения - это будут какие-то выражения с "а" для x1, x2, x3, x4.
Зачем нам они нужны, если в данной задаче сказано, что детерминант этой матрицы должен быть равен 0. Это значит, что составленная система уравнений не должна иметь никаких, либо иметь бесконечно много решений.
Поэтому я сразу и сказал, что с никакими другими уравнениями составленными из этой матрицы нет смысла решать данную задачу. Имеет смысл только составить уравнение для детерминанта, но оно получится одинаковым независимо от способа его нахождения.
Мне показалось, что вы перепутали понятиe детерминант и понятие "решение системы" (в смысле найденые значения для неизвестных в системе уравнений)

А мне бы хотелось взглянуть на ваше решение, учить мы все горазды.

Мое решение такое же, что и у автора топика. Взять формулу для нахождения детерминанта матрицы и приравнять его к 0.
И пулучившееся у меня уравнение точно такое же 5а³-20а²+44а-44=0
И другое здесь никак не может получиться, каким бы способом не находили детерминант.

Такое уравнение у меня тоже получалось, правда сокращ╦нное на пять, и я для интереса сколько ни раскладывала по другим строкам и столбцам, получались, увы, другие выражения - поэтому и пришла идея насч╦т системы уравнений. Вы уверены абсолютно, что должны быть пропорцинальные выражения ? Учебников после Универа у меня не осталось давно , поэтому могла ошибаться. Упрощать и методом Гаусса , и другими способами( я оставляла в третъей строке одну единицу, остальные зануляла) - себе же дороже. Но мне кажется, что может быть два варианта: либо задача не очень корректная(или ошибочно записанная матрица), либо существует какая-то ниточка, бывают такие заразные задачки.

Если вы разложили эту матрицу по любой другой строке или столбцу и получили не такое 5а³-20а²+44а-44 выражение, значит вы ошиблись в разложениии. Детерминант у матрицы один и не зависит от способа его нахождения.

Какие выражения вы имеете в виду?

Ничего хитрого в этой задаче нет. Существуют два способа ее решения. Каким лучше решать зависит от того какая матрица дана. В данном случае проще всего просто найти детерминант и приравнять его к 0.

Я вообще-то так и сделал.
Подозреваю, что профессор хотел другое решение т.к. кубические уравнения мы не проходили, как теперь ему это задание подать даже не знаю, но думаю, что ведь последнее решение правильное и одно рациональное число было найдено при котором детерминант равен нулю.

Конечно вы правы. Вы нашли приближенное значение для "а", при котором детерминант равен 0. Больше тут ничего нельзя сделать. Но напишите в начале задачи, что провели проверку срок и столбцов матрицы на пропорциональность, но никакого точного значения не обнаружилось. Поэтому ищем приближенное значение решая это кубическое уравнение.

Спасибо огромное Вам, Rius!
Спасибо всем, кто помог мне в этом топике глубже понять эту тему и решить эту, на первый взгляд сложную задачу.
После проверки профессором, напишу здесь результаты.