Что такое "k"?

пусть это будет рациональное число

Выше кто-то уже говорил про шулера...
Типа решение - существует. Это очевидно из условия. Доказывать здесь нечего.
Конкретно решение может быть построено, а может НЕ может быть построено.
Если получено выражение вида r = 1+sqrt(2)-sqrt(3)+... - то его построить можно, при этом выражение и является решением и алгоритмом построения.
Если получено выражение вида r = 1+пи - то его построить нельзя, что и является доказательством НЕсуществования точного решения, то есть построения с помощью идеальных Ц и Л.
Но и в том, и в другом случае для доказательства требуется указать аналитическую формулу для радиуса или угла. Но НЕ уравнение с синусами-косинусами и прочими экспонентами, функциями Бесселя и даже гипергеометрической функцией ...
Например, решение очень похожего уравнения cos(A) - А*sin(A) = pi/2 отлично (то есть точно ) строится с помощью циркуля и линейки...

Если Вы докажете теорему:
Теорема (katran76): Если cos(A) - алгебраическое число, то A=q.Pi, где q - рациональное число,
то задача (доказательство несуществования алгебраического решения исходного уравнения) действительно решена (она также решена если q - алгебраическое число). Но пока я такого доказательства не вижу, хотя несомненно обратное верно:
Если A=q.Pi, где q - рациональное число, то cos(A) - алгебраическое число,
что впрочем означает только то, что угол, решающий исходное уравнениe, не является рациональной частью Pi.
P.S. Я лично считаю, что вышеприведенная "теорема" не верна (в т.ч. и для случая "q - алгебраическое число").

Вот-вот - про шулера. Очевидно Вы прекрасно поняли, что говоря о доказательстве существования решения, я подразумевал решение в Вашем смысле, то есть решение "с помощью циркуля и линейки", но делаете вид, будто я говорил о чем-то другом.

Отнюдь. Доказать существование построительного решения можно только найдя его. Точнее говоря, это получится автоматически. Поэтому фраза "доказать существование, но не находить решение" является несколько некорректной. О чем я и написал...

Видимо Вам чужды понятия теории групп или теории Галуа.
Хотя, не туманя Вам мозги, попробую объяснить простой задачкой. Скорее всего Вам известно, как разделить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки. А теперь задача: разделить отрезок на 2^n частей. Докажите существование построительного решения не используя (не беря в руки) циркуль и линейку.

В принципе выше Вам уже ответили, но неужто Вы никогда не слышали такую фамилию как Гаусс? Этот господин в свое время (почти 200 лет назад!) сумел доказать, что при помощи циркуля и линейки можно построить правильный 65537-угольник. Как Вы думаете, привел ли он при этом алгоритм его построения?

Каюсь, теорию групп в средней школе я изучал невнимательно. Мне больше нравились диффуры и аналитическая геометрия.

Слово "индукция" вам знакома, я надеюсь...

Старика Гаусса я давненько не перечитывал, так что поверю вам на слово. Похоже, что в этом вы меня убедили.

Неделя на исходе, а обещанного ТС "гимназического" решения всё нет. Может сегодня после 13:13 появится? Хотя никто и не обещал, что решение будет опубликовано в ближайший к 11/3/10 понедельник.

А задачка ведь именно на сообразительность

и под силу гимназисту умеющему вычислять площадь сегмента не только численными методами. Решается аналитически с помощью циркуля и линейки или даже без них, если воображения хватает.

Да. Можно.

Докажите. Предоставьте аналитическое решение в виде алгебраического уравнения.

У Вас, по всей видимости, недюжинное воображение.

Заинтриговали. Ждем продолжения.

Ok.

Нет. У меня есть циркуль и линейка.
Для тех у кого их нет, а воображение (в отличие от меня) есть, расскажу словами.
Чтобы в этом убедиться, сначала привяжем козу на веревке длиной r равной половине диаметра поляны. При этом коза сможет выесть на поляне "линзу" площадь (S2) которой полностью определяется радиусом r. При этом не съеденная козой на первом полукруге поляны площадь (S3) "плоско-вогнутой линзы" равна разности между площадью (S1) полукруга поляны и площадью S2 "линзы" состоящей из двух одинаковых сегментов образованных пересечением двух кругов радиуса r.
S1 - S2 = S3.
А дальше то, о чём должен догадаться гимназист.
Дальше думаю можно не продолжать, наверное и так уже все догадались?

Не все такие догадливые. Вы уж снизойдите, напишите уравнение.

Вот дальше самое и интересное! С тупиком вместе.

Не останавливайтесь! Продолжайте!

В смысле не все были гимназистами?

Конечно! Это ж ключевой момент.

Дык вы ж разве дадите остановиться?
Дальше гимназист, рассуждая логически, понимает, что коза будучи привязанной на веревке длиной R, сможет выесть половину оставшейся (от того случая, когда она гуляла еще на веревке длиной r) площади S3 на первом полукруге поляны и половину на втором полукруге. Таким образом на втором полукруге (за диаметром) поляны получаем выеденный козой сегмент радиусом R, высотой (R - r), с хордой длина которой определяется двумя радиусами R и r, один из которых известен, с площадью S4 равной половине ранее найденной площади S3 "плоско-вогнутой линзы".
S4 = S3 / 2.
Могу не продолжать?
Если придется продолжить (это будет означать, что ваше воображение я все-таки переоценил), посмотрите сначала иллюстрацию господина Steven9999. Тока дорисуйте еще одну вспомогательную дугу радиусом r с центром окружности в точке привязки козы на окраине поляны.

Да, мы в гимназиях не обучались.
Вы напишите, пожалуйста, окончательное уравнение, а не выпендривайтесь почем зря.

Подождем топикстартера, полчаса осталось.