У меня вот какая идейка есть, но надо ещё додумать. a,b,с,d пусть будут вершины исходного прямоугольника, а функция f. В виду моей задачки выше f будет голоморфна на всём прямоугольнике. Из-за непрерывности она будет внутренность отображать на внутренность, стороны - на стороны. Аналогично из-за непрерывности, если рассмотреть ограничение f на каждую из сторон, получим, что вершину прямоугольника она отобразит на вершину. Рассмотрим точки a,b,c (расположим их так, что ba и ca являются сторонами прямоугольника). Поскольку f голоморфна на всём прямоугольнике, существует непрерывная функция g с g(a)=0, что для x из прямоугольника выполняется: f(x)-f(a)=(x-a)f'(a)+(x-a)g(x). Т.о.:
|f(c)-f(a)|/|f(b)-f(a)|=|(c-a)f'(a)+(c-a)g(c)|/|(b-a)f'(a)+(b-a)g(b)|.
Вот если бы теперь показать, что g=0, то Ваше утверждение доказано. Да, нужно ещё заметить, что f(c)f(a) (в смысле отрезка, а не произведения) и f(b)f(a) будут из-за биективности f также сторонами образа исходного прямоугольника, т.к. ba и ca пересекаются в a, то f(b)f(a) и f(c)f(a) пересекаются в f(a)....

Интересная задачка... Задумался... Только наверно вместо "отрезка" лучше сказать "последовательность"...

Ну, да, точно. Конечная последовательность Это я просто думал-думал, как выразить, что это должны быть числа, так сказать, расположенные друг за другом. Но как-то не вышло выразить это

Можете считать, что это включено в условие задачи

..То отображение f - комплексно-линейное, то есть есть композоция сдвига и умножения на комплексное число. Следовательно сохраняет углы и метрические отношения. Вот линейность f и есть, собственно, основной шаг.
Подсказка: воспользуйтесь принципом отражения..

Уффф... Кажется решил Вашу задачку... Опять принцип Дирихле?

Чтобы вернуться к вероятностям:
Отрезок разбивается двумя точками на три части. Распределение каждой из точек разбиения - равномерное по длине отрезка. Найти вероятность построения из трех получившихся отрезков треугольника.
PS. Задача имеет простое и красивое решение, доступное для понимания школьника (я сам решил в свое время ее методом "грубой силы", но рекомендую на нем не останавливаться).

Та-та-а-а-ам! Вы чертовски правы!
Но не расслабляйтесь, ибо скоро я выложу кучу других интересных задач! Сейчас просто времени нет. А пока.... В продолжение темы о голоморфных функциях:
Существует ли неконстантная голоморфная на всём C функция f, для которой бы выполнялось: Im(f(z))<=Re(f(z)) для всех z из C? Ну, ответ-то понятен. Интересна аргументация. Я придумал два способа. Интересно, есть ли ещё что-нибудь....

|i - f(z)| > 1/sqrt(2) , 1/(i - f(z)) ограничена и всюду голоморфна, поэтому константа.

Действительно! Красиво! У меня один аргумент был тоже примерно такой: f(C), если f не константна, должен лежать плотно в C, но B:={x+iy|y<x} не плотно в C. Второй мой аргумент был сложней. B лежит "под" прямой Re(z)=Im(z). Эту прямую можно преобразованием Мёбиуса (назовём его g) отобразить на окружность так, чтобы g(B) было внутри окружности. Причём g можно так выбрать, чтобы оно было определно на всём B. Тогда gof будет голоморфна на всём C и ограничена, но не константна => противоречие.

В принципе Ваш второй аргумент идентичен моему решению, если взять конкретное преобразование мебиуса
1/(i -z)..

Уже в который раз Вы чертовски правы! Плохо лишь то, что получается, что все три "разных" решения сводятся к Лиувиллю. Хотя.... Вероятно, это и есть единственная причина. Но хочется посмотреть на это и с какой-нибудь другой стороны.