Вы прямо как Карлсон... пропеллер на спину пристегнуть не забудьте...
Полетать по Штатам, заранее купив билеты на 10 городов Вам никакая из компаний не даст. Ищите, конечно, найдете - поделитесь опытом. А вдруг ураган, или там торнадо в одном из аэропортов? И все Ваши 9 оставшихся поездок надо переносить, места искать, и т.д., и все за счет перевозчика - они ведь тоже не идиоты. Я уж не говорю о гостиницах, Вы их тоже в 10 городах заранее бронировать собираетесь? Ну тогда флаг Вам в руки и барабан на сами знаете куда.
Если Вы собираетесь "по настоящему" семье Штаты показать, то, предполагаю, обладаете достаточной суммой и временем на все это: 10 городов - минимум 1.5 месяца. Нет ничего проще, приехал в город, посмотрел, понравилось - остался подольше, потом в аэропорт, купил билеты и вперед!

К тому же, многие компании предлагают дешевые полеты между Европой и США, внутри же Штатов масса других скидок и предложений, сайты Вам наверняка уже давали, да хотя бы United, Delta или US Airways
На ╦лку сесть и ... не уколоть - желание понятное, но если собираетесь приятно провести там время, то зачем Вам головная боль?