Воробъевы (бывшие Ленинские) горы - это смотровая площадка, с которой в хорошую погоду отличная панорама на город. Буквально напротив - главное здание МГУ.
Пушкинский музей (метро Крапоткинская) http://www.museum.ru/gmii/defrus.htm - собрание зарубежной живописи, копии античных скульптур, египетские мумии, коллекция "золото Шлимана" и пр. Постоянно проходят различные выставки.
Третьяковка http://www.tretyakovgallery.ru/ - там русское искусство.
Усадьба Кусково http://world.lib.ru/s/shurygin_a_i/kuskovo.shtml, Царицыно (новодел) http://www.tsaritsyno-museum.ru/, Коломенское http://world.lib.ru/editors/s/shurygin_a_i/kolomenskoe.shtml
Музеи Кремля http://www.kreml.ru/, Красная площадь, Манежная площадь, Новодевичий монастырь.
Поклонная гора (лучше приезжать вечером, когда фонтаны подсвечивают алым цветом), Триумфальная арка
Театры - это нужно смотреть конкретно каждый, лето - время отпусков и гастролей.
По вопросу о шопинге: а что вы собрались покупать в Москве? Все фирмы и дешевле вы купите в Германии.
Если интересуют сувениры - вот очень хороший магазин http://www.russian-souvenirs.ru/ - работают без выходных, можно просто приехать и купить, что понравится. Очень большой ассортимент качественной сувенирки.