Есть билет на самолёт Анталия-Берлин с посадкой в Истамбуле. Можно ли остаться в Истамбуле, если не сдавать багаж, будет только ручная кладь.

Смысл вопроса непонятен. Да, остаться можно, раз багажа нет. Просто не идти на стыковочный рейс.
Или вопрос в том, что будет с билетом? Отрезок Стамбул-Берлин потеряете; если это первая часть билета (полет туда), то есть вероятность потерять и обратный полет.

Мне кажется есть опция "задержаться в городе транзита", я так делала в Питере, даже с багажом.

да, Вы правильно поняли, я потеряю чать билета. На посадку пойду полько с ручной кладью. Это будет полёт в обратную сторону.

Ну так оставайтесь, ничто не мешает.
Я один раз так не полетела из Франкфурта в Штутгарт. Как честный человек подошла к работникам Люфтганзы во Франкфурте, мол так и так, я плохо себя чувствую и лучше на поезде поеду, попросила их связаться с моим рейсом и сообщить. Им было совершенно наплевать, сказали, что ждать меня самолет все равно не будет и я могу идти куда хочу.

Спасибо! Так и сделаю. Хочу на неделю в Кемер, а потом 2-3 дня в побыть Истамбуле

Если вы туркишами летите, можете даже попробовать с ними "полюбовно" договориться и поменять рейс Стамбул-Берлин на 2-3 дня позже. Цена вопроса у них 20 евро или около того (зависит, конечно, от конкретного билета, но попытаться можно, имхо).

Я себе куплю билет (Истамбул-Берлин) заранее, поэтому он не будет дорогим.