Einzug - это же не ваш случай. У вас никто не заехал по новой, а уже живёт там.

Првда, как давно - неизвестно.

И последнее повышение когда и насколько - тоже неизвестно.

Ну как неконкретно спросили, такой же неконеретный ответ - Гугл, на все возможные случаи. 😇

Если случай, что митер долго живёт в квартире и последнее повышение неизвестно, то тогда по идее должен просто действовать параграф 558 BGB, если не Indexmietvertrag или какие-тоособенности в самом Mietvertrag:

"(1) Der Vermieter kann die Zustimmung zu einer Erhöhung der Miete bis zur ortsüblichen Vergleichsmiete verlangen, wenn die Miete in dem Zeitpunkt, zu dem die Erhöhung eintreten soll, seit 15 Monaten unverändert ist. Das Mieterhöhungsverlangen kann frühestens ein Jahr nach der letzten Mieterhöhung geltend gemacht werden. Erhöhungen nach den §§ 559 bis 560 werden nicht berücksichtigt."

То есть, фермитер сразу после покупки может писать письмо о повышении.