А в какой момент называется "официальное нахождение здесь"? В момент пересечения границы Германии? Но в никаком Амте это не подтверждено, кроме как отметки в паспорте.Ведь так можно сказать и о дате получения Anmeldebestätigung в Bürgerbüro.
В пункте 4 стоит, что Jobcenter затребовал Аufenthaltstitel. Если предположить, что Джобцентр, посчитал что жена находится в Германии уже по визе и получила Аufenthaltstitel, то как бы всё понятно, но.....тогда получается, что Аufenthaltstitel получен в сентябре 2021 года и должны начать выплаты с сентября 2021, но сразу говорю, что это неправильно.
И ещё добавлю непонятного: жена с октября получила в Джобцентре Kundennummer, была вписана в Bewilligungsbescheid, но в графе выплаты у неё ничего не написано, а тогда отдельным письмом попросили Аufenthaltstitel.
Но возникает ещё один вопрос, Джобцентр в октябре 2021 года попросил предоставить подтверждение полёта в Украину в октябре 2020 года туда и обратно на два дня.
Зачем эти подтверждающие документы Джобцентру, которые были предоставлены?

почему Вы у них не спросите? Вы лучше главное скажите: с какого момента жене одобрили выплату денег или этого до сих пор не произошло?