Про цену на жилье ничего не могу сказать. Заберитесь на сайт Хайдельберга и посмотрите цены (должно быть и на анлийском языке). Дешевле всего останавливаться в студенческих отелях.
Что посмотреть? Весь город - один большой музей. Центр, замок, Святая гора с гитлеровским амфитеатром и кельтским поселением напротив через Некар. Сядете на теплоходик и вверх по реке. Там на высоком берегу три подряд замка. Сядете на трамвай - и вы в Манхайме. Там есть Луизинпарк и Технический музей. Недалеко Шпаер с потрясающим техническим музеем и римским собором, в котором короновали немецких королей (макет этого собора стоит в Европа-парке в Брюсселе). Также недалеко небольшой городок Ладенбург, которому более 2000 лет. Там есть очень показательная стена, которую можно озаглавить "о негативном влиянии христианства на цивилизацию". Ну и картофельный ресторан.
По железной дороге можно добраться до Карлсруэ и Баден-Бадена. Ну а если очень упереться, то и до Страсбурга.