Как я поняла, чтобы начать этот раздельный год, нужно подать на развод сначала.

Нет, Вы неправильно поняли. Сначала подаётся на раздельное проживание.

Если Вы через 3 недели после получения ПМЖ разъезжаетесь с мужем официально, то это могут заметить в компьютере. Могут быть некоторые неприятности, типА, неприятный разговор в ABH. Но никого не знаю, у кого действительно бы ПМЖ отобрали бы. Одна ушла от мужа через 9 дней, сильно на неё ругались, но тоже не отобрали.

Лучше было бы уходить от мужа официально месяца через три после получения ПМЖ, но дело Ваше....

не будет ли у меня проблем, если я сейчас подам на развод?

Вы не получите немецкое гражданство в статусе немецкой жены, потому что одним из условий этого является СОВМЕСТНОЕ ПРОЖИВАНИЕ С МУЖЕМ. То есть разъехавшись с ним, Вы уже теряете предпосылки для вступления в немецкое гражданство именно, как немецкая жена.

Вам написали в письме, что можете подавать на немецкое гражданство через 6 лет (я уж не знаю, почему Вам так красиво написали, но вот написали).

Вот и подавайте, как Вам предлагают. Не будете зависеть от статуса немецкой жены.