В интернет они все просятся.

Не все, но многие. Но когда это делает браузер, rss-ридер или даже читалка книг с поддержкой скачивания через opds -- я их не блокирую. А вот програмный мусор, извещающий меня даже не о реальном потреблении батареи, а о неких номинальных значениях, якобы заявленных производителями чипов, терпеть на своем смарте не желаю. Ну да это мое, сугубо личное отношение.

А у меня с одним смартом аналогичная проблема. После выхода из сна с включенным вайфаем приём по нему отсутствует. Для восстановления приёма надо отключить вайфай и включить. После этого нормально держит. Если во сне вайфай отключен, после выхода из сна включается и коннект держит. В обоих случаях о приходящих сообщениях смарт не сигналит. Другие смарты с этим роутером без проблем. Не знаю, на что думать.

Не знаю, тут можно лишь гадать.

ПС. Я с самого начала отстроил свой смарт так, что в режиме сна автоматически отключается все прожорливые соединения (wifi, LTE, 3G) и остается только GSM -- его вполне хватает для получения извещений в мессенджеры или о изменениях на банковском счете. При выходе же из сна всё восстанавливается: через 2-3 секунды появляется wifi, a переключение GSM на 3G обычно занимает чуть дольше -- секунд 5-8 (причем, если уже включился wifi-инет, то смарт после сна остается на GSM, не пытаясь подняться до 3G). Экспериментировал с настройками (в т.ч. и в инженерном меню) года 2 назад, сразу после покупки и получения рута, с тех пор туда стараюсь не лазить, т.к. все устраивает.