стати, при прописке мне показали бумагу, что при прописке детей (не помню точно до 14 или до 16 лет) должны присутствовать оба родителя.

Тоже "местное творчество" ряда мельдеамтов. С Meldegesetz ничего общего не имеющее. Но некоторые матери-одиночки жалуются

В то время как у остальных все нормально проходит

Отказ в прописке законом, вообще, не предусмотрен. Если ребенок (любой человек) живет по какому-то адресу, он обязан быть там прописан.

Прописка лишь фиксирует факт проживания. Вне зависимости от того, законно проживание или нет

В законе даже не сказано, что именно родитель прописывает. Не говоря о том, чтообы "должны оба присутствовать"

(3) Die An- oder Abmeldung für Personen unter 16 Jahren obliegt denjenigen, in deren Wohnung die Personen unter 16 Jahren einziehen oder aus deren Wohnung sie ausziehen. Neugeborene, die im Inland geboren wurden, sind nur anzumelden, wenn sie in eine andere Wohnung als die der Eltern oder der Mutter aufgenommen werden. Ist für eine volljährige Person ein Pfleger oder ein Betreuer bestellt, der den Aufenthalt bestimmen kann, obliegt diesem die An- oder Abmeldung.