Парадокс Бертрана, это всего лишь элементарное неумение выделить реальную область случайной вероятности, а область эта в данном случае, это окружность, которая разделена на три равных части вписанным в нее треугольником, где прекрасно видно что, хорды исходящие из вершины треугольника будут меньше его стороны, если будут заканчиваться в двух частях из трех, и будут больше стороны треугольника если будут заканчиваться только в одной трети окружности. Следовательно и вероятность тут будет равна только именно этому отношению, потому что вершину треугольника мы всегда можем совместить с началом любой произвольной хорды, условия задачи не привязывают вершины треугольника к конкретным точкам, из чего следует что любая произвольная хорда может считаться исходящей из вершины вписанного треугольника. Потому вероятность хорд короче стороны треугольника равна двум третьим, а хорд больше стороны треугольника только одной трети, и любые иные варианты расчета вероятности будут мягко говоря некорректными.