Вы меня конечно удивили, мы всегда думали, что эти 90 дней рассчитаны исключительно на один год.

Не знаю, почему Вы так думали. Этому правилу (в разных редакциях) точно больше 20 лет.

То есть если мама приедет 15 июня и останется до 13 сентября (90 дней), то она сможет снова приехать на 3 месяца в январе?

Да, конечно, с января и дальше. Если это позволяет длительность её визы.

Несмотря на то, что в паспорте указано 90 дней (годовая виза) правильно ли я понимаю?

Правильно понимаете. Только не "несмотря на", а "именно потому, что" в визе указаны 90 дней. Имеются в виду 90 дней в течение 180 дней, а не года или более. Я Вас, наверно, еще больше удивлю, если скажу, что и в многолетних визах тоже написано "90"? А ездить можно 90 дней в каждые 180, самый простой способ 90 здесь - 90 там - 90 здесь - 90 там и.т.д. В Шенгенском кодексе есть вся информация. Да и не только там, на страницах немецких консульств была такая информация, причем даже на русском языке. Это очень, действительно ОЧЕНЬ известная информация.

По поводу того, что ей на один год выдают, кажется я понял. Мы всегда указываем дату въезда и выезда только на 30 дней,

Стало быть, консульства оказывали Вам большое одолжение, выдавая визу не на 30 дней, как Вы запрашивали, а на целый год.

так как (как мы думали) если указать 5 лет как у вас на картинке, то надо на весь этот срок финансовую гарантию предоставить из расчета 50 евро на день, а это огромная сумма выходит).

Если Вы не делаете для мамы VE, то ей обычно достаточно показывать не деньги по 50 евро в день, а просто постоянный доход, пенсию, например.
(Я для мамы всегда оформляла VE, поскольку так легче для неё, в этом случае ей не надо приносить никакие свои бумаги о доходах. И VE действует по закону 5 лет, так что как раз всё очень хорошо получалось. А вот медицинскую страховку мы для неё заключали заново на каждую новую поездку.)