может ли Verpflichtungserklärung оформить на себя мой парень?

Может. Кто угодно может, собственно. (Здесь в самом низу описан такой вариант: https://foren.germany.ru/arch/showmessage.pl?Number=310628....)

Таким образом вопрос - мне писать в приглагении наши имена как приглашающей стороны?

Можно и так. На самом деле, поскольку Вы приглашаете родственников, важно, чтобы приглашение было, в том числе, от Вас, тогда у мамы будет бесплатная виза.

В Verpflichtungserklärungsformulare не стоит, могут ли два человека приглашать.

Хммм. В VE указывается поручитель, обычно это все-таки один человек, а не несколько. Вряд ли Вас туда впишут, если у Вас нет дохода и, следовательно, Вы не можете быть поручителем. Да и не нужно это. Ваш друг сделает VE, потом Вы лично или с ним вместе напишете обычное приглашение, приложите к этому копию Вашего загранпаспорта и ВНЖ, а также копию СОР. С Вашей стороны, по большому счету, больше ничего и не нужно.

На самом деле, это достаточно стандартная ситуация. Много раз видела подобный вариант у коллеги, когда VE делал один из супругов (у кого было время зайти в АБХ), а общее приглашение подписывали оба. Проблем с оформлением виз при таком варианте у их гостей не было.