Многие говорят, что недавно сменился посол и процедуры получения виз усложнились.

Посол никогда(!) не занимается оформлением виз. Не его уровень. Это как если бы директор вдруг стал выполнять работу завхоза. Посол занимается представительскими и политическими вопросами. А визами занимается визовый отдел, которым обычно руководит дипломат попроще, обычно вице-консул. Вот если поменялся не посол, а начальник визового отдела, тогда да, внутренние "традиции" могли немного поменяться.

Был ли у кого-либо аналогичный опыт (с посольством в Астане или с другим)? Как долго рассматривали Вашу апелляцию? Был ли положительный результат?

Есть опыт в Петербурге: не хотели выдавать визу хорошей знакомой. На тот момент знакомая, до этого всего боявшаяся, к счастью, перестала бояться (отказ-то уже был на руках) и "шумела" там на месте. Я (приглашающая сторона) написала в визовый отдел отсюда. Рассматривали апелляцию недели полторы. Визу выдали.