Я бы написала обстоятельное письмо в абх: в связи со сложной жилищной ситуацией в городе Кельн и невозможности на протяжении долгого времени найти жилье по оптимальной цене, вы в настоящий момент проживаете во Франкфурте со своим Lebenspartner. Формат вашей учебы (объяснить) не связывает с городом Кельн, поэтому ваше постоянное нахождение в городе и посещение занятий необязательно. Сфера ваших интересов сейчас - это учеба, и вы прекрасно с ней справляетесь (см. приложение с промежуточными оценками). Предыдущие документы с места учебы вы предоставили (см. прошлые письма). Если вам требуются иные документы, будете рады их сразу же прислать. Поскольку закон не предписывает вам постоянно находиться вблизи места учебы, то считаете, что ваше проживание в другом месте не может являться причиной отказа вам в получении внж (ссылка на закон). Просите начать процесс оформления внж. В противном случае вы будете вынуждены решать этот вопрос вместе в адвокатом.

И главное: прямо длинно и обстоятельно. С прикреплением кучи документов.
Если вдруг будет термин, берите жениха вашего. Работает безотказно. С вами будут мило чирикать и сделают все, что надо.