..они по какой-то причине опять не выслали документы для печати карточки...

После третьего разговора?.. Вы разговаривали с начальником АБХ? Если предпосылки для NE выполняются (а, раз ее антраг был принят и уплачены деньги и не было выдано официального отказа в NE, то, следовательно, они выполняются), - тут уже можно смело идти к нему и жаловаться в Fachaufsichtsbehörde, или по крайней мере заявить в АБХ, что будете жаловаться.

Вы как раз аусбильдунг закончили? так пришлите нам по мейлу ваш цойгнисс и мы вам сделаем карточку на один год для поиска работы!!!

Это что за танцы с бубном?.. Опять-таки, пусть выдадут официальный письменный отказ, если они считают, что NE не положено.

нужно в АБХ мейл писать

Нужно приходить лично и/или писать жалобу per Einschreiben mit Rückschein.

карточку на один год для поиска работы.... А пока справку напишем, что вы имеете право на работу в Германии

Вы точно их правильно поняли? Это звучит неправдоподобно. ВНЖ на год "на поиск работы" не существует. И что за "справка" такая, "подтверждающая" право на работу в Германии?

Где происходит сие безобразие? Либо вы чего-то недопоняли в АБХ, либо там по ним Fachaufsichtsbehörde плачет.