Пусть лучше Вам кто-нибудь "берлинский" ответит, информация будет более точная, поскольку во всех землях (и даже городах) это проходит по-разному: то нескольких дней до нескольких месяцев. Сколько и что проверяют при повторной проверке в Берлине, не в курсе.

Помню. что надо опять справки о зарплате приносить им за последние три месяца, а еще что?

Обычно просят справки о зарплате за прошедшие 1-3 месяца (опять-таки в разных землях по-разному) и справку о выходе из гражданства с официальным переводом (оригинал справки немцам не отдавать, только ксерокопию и перевод!). Больше обычно ничего не требуют.

надо будет в Аусландабехердэ и там просить удостоверение личности без гражданства (для путешествий) - они ее выдают сразу или же опять придется ждать?

Биометрический Reiseausweis für Staatenlose делается, как и все документы в Bundesdruckerei, где-то 4-8 недель. Но есть еще vorläufiger Reiseausweis für Staatenlose, а он, насколько мне известно, делается значительно быстрее. Прогуглите, что написано про эти документы в Берлине, онлайн наверняка есть информация.