А где-то пишут, что надо будет платить в России 13%, а германские налоги платить не придётся.

Да, есть соглашение об избежании двойного налогообложения, если с Вас будут брать налог в РФ, в ФРГ платить с дохода в РФ не будете, только с дохода в ФРГ (есть Progressionsvorbehalt, но это потом - будете налоговую заполнять до августа 2021 г.).

А как страховку оформить? В кранкенкассе на выбор опции: германский работник, студент, самозанятый, получатель пособия и тому подобное.

Пока можно оформиться как Фрайберуфлер, даже если на первых порах будет один работодатель - это выяснится тоже только к концу 2021 г.

Надо будет платить 180 евро, или 14.6% от зарплаты до всех налогов?

14,6% от брутто, потом сделаете перерасчет от нетто, Вам лишнее зачтут на будущее.

А если 14.6%, то как подтверждать кранкенкассе величину зарплаты?

Попросите у работодателя договор (в КК можно и на русском), либо справку 2НДФЛ.

Кто-нибудь уже работал по такой схеме, чтобы жить в Германии, а трудовой договор в России?

Работаем.

На сайте арбайтсагентур написано, что сейчас упрощённые условия получения пособия Alg II из-за коронавируса. Не надо приносить ворох подтверждающих документов, оплатят ещё и аренду квартиры, и платят и людям с накоплениями до 60 тысяч евро.

Ого, раньше разрешалось существенно меньше. Если договор с РФ дает мало денег, берите его и ставьте Антраг в Джобцентр (возможно, и онлайн?). Вам будут доплачивать до прожиточного минимума семьи + квартплата + медстраховка для семьи. Если квартира дорогая - могут заставить доплачивать самим или искать дешевле. Альтернативный вариант - с теми же данными попробовать поставить Антраг в Вонунгсамте. Там дают существенно меньше, но все же кое-что. Как с собственной квартирой - не знаю; если есть подтверждения кадастровой стоимости и она небольшая - можно попробовать. Но в любом ведомстве по соцпомощи могут предлагать квартиру сдавать, чтобы уменьшить нуждаемость.

Если есть дети до 25 лет учащиеся, надо оформить в Арбайтсамте заявление в Фамилиенкассу на детское пособие.