Насколько я понимаю, если у одного из родителей (в данном случае отца), на момент рождения ребенка было только немецкое гражданство, то ребенок не получает "автоматом" гражданство матери, на его оформление требуется разрешение отца.

вы не правильно понимаете. У ребёнка на момент рождения вполне может быть два гражданства - немецкое и российское. "оформление" это всего лишь поставить ребёнка в консульстве на учёт и получить на него документы (паспорт и что там ещё) . Ваша подруга просто не оформила на ребёнка документы в консульстве, а у немцев в компьютере скорей всего занесено, что у ребёнка два гражданства.

Я предполагаю, что при продлении немецкого паспорта бератерша упомянуло российское гражданство, а ваша подруга ответила - нету, вот с неё и потребовали справку .

и прежде чем возмущаться просто так узнайте сначало точнее почему с вашей подруги потребовали эту справку и узнайте насчёт гражданств