но отец то есть, как бы, обозначен некий "Иван Иваныч Иванов", а фамилия у ребенка может быть и мамина.

теперь только через суд добиваться удаления Ивана Иваныча из св-ва о рождении и признавать Вас отцом.

Нельзя вписать отцом Ивана Ивановича Иванова, если у мамы фамилия не Иванова

Если отца вписывают со слов матери, то вписывают только имя-отчество. Фамилию пишут ту же, что и матери ребенка

Статья 51 семейного кодекса РФ.

1. Отец и мать, состоящие в браке между собой, записываются родителями ребенка в книге записей рождений по заявлению любого из них.

2. Если родители не состоят в браке между собой, запись о матери ребенка производится по заявлению матери, а запись об отце ребенка - по совместному заявлению отца и матери ребенка, или по заявлению отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса), или отец записывается согласно решению суда.

3. В случае рождения ребенка у матери, не состоящей в браке, при отсутствии совместного заявления родителей или при отсутствии решения суда об установлении отцовства фамилия отца ребенка в книге записей рождений записывается по фамилии матери, имя и отчество отца ребенка - по ее указанию.

4. Лица, состоящие в браке и давшие свое согласие в письменной форме на применение метода искусственного оплодотворения или на имплантацию эмбриона, в случае рождения у них ребенка в результате применения этих методов записываются его родителями в книге записей рождений. Лица, состоящие в браке между собой и давшие свое согласие в письменной форме на имплантацию эмбриона другой женщине в целях его вынашивания, могут быть записаны родителями ребенка только с согласия женщины, родившей ребенка (суррогатной матери)

Так что подруге достаточно взять справку в загсе, что отец записан с ее слов