Были расписаны в 1988 году в Украине.

Это они того... поторопились. В 1988 году еще существовала УССР. Украина была образована тремя годами позже.

Понятно, что всякие взаимоотношения между ЗАГСами невозможны.

Почему? Из чего это понятно?

В России по месту все, что можно было узнали и спросили, никто ничем помочь не может.

Не хочют потому что. Там ведь не признают существования такого государства как Украина.

А так, ничто не мешает сотрудникам российского местного отдела ЗАГС официально обратиться к своим коллегам в Украине, по месту выдачи первичного СоБ, с запросом о выдаче апостилированного дубликата СоБ. Другое дело, что все это не быстро. В этом году ваши родители точно не успеют уже ничего получить через переписку ЗАГСов. Пока запрос туда, пока ответ оттуда... Рождественские праздники, опять же, на носу... Если нужно быстрее, вот прям в день обращения, то нужно либо лично прибыть в Украину и обратиться в отдел ЗАГС по месту выдачи, либо уполномочить кого-либо доверенностью на получение дубликата СоБ и штампа "Apostille" на нем.

Может, кто-то знает доверительные , проверенные фирмы, которые занимаются восстановлением документов.

Если вы привыкли жить исключительно дорого и богато, то можно конечно и фирму нанять для этого. Причем, любую. От необходимости оформления доверенности на кого-либо из сотрудников "фирмы" это не избавит.