Вроде бы кратко обсуждалось уже, но вопрос актуальный.

Тогда вот такой ответ был: https://foren.germany.ru/showmessage.pl?Number=39641011&Board=consul&Cat=&page=&view=&sb=#Post39641011

В целом, в новом законе указано, что заявление на выход можно подовать через консульство (Статья 23):

2. Заявление о выходе из гражданства Российской Федерации подается гражданином Российской Федерации, достигшим возраста восемнадцати лет, обладающим дееспособностью и находящимся за пределами Российской Федерации, в федеральный орган исполнительной власти в сфере международных отношений либо дипломатическое представительство или консульское учреждение.

Относительно сроков рассмотрения - остаются текущие 6 месяцев (Статья 37):

4. Решение по вопросам гражданства Российской Федерации относительно заявления по вопросам гражданства Российской Федерации, поданного в дипломатическое представительство или консульское учреждение, принимается в срок до шести месяцев со дня принятия к рассмотрению такого заявления.

При этом, в законе сказано что процедура и перечень документов прописаны в "Положении о порядке рассмотрения вопросов гражданства Российской Федерации".