выписку из регистра о рождении моей мамы.

в идеале это должна быть копия записи акта о рождении. В России её получить очень проблематично, зачастую отказывают даже по адвокатскому запросу. Но я знаю случаи когда получали, через адвоката, через знакомых и т.д.

Если её достать не получится, то нужно взять справку по форме 4 и попросить снизу, в графе "иные сведения" указать какие изменения вносились в актовую запись и причины повторности документа. Если не вносились чтобы написали фразу "изменения, исправления, дополнения в актовую запись не вносились, повторное свидетельство о рождении выдано в связи с тем-то, тем-то". Но я так понимаю что в случае вашей мамы было установление отцовства, значит напишут что-то типа: "в актовую запись были внесены дополнения в "раздел сведения об отце, на основании заявления родителей и свидетельства о браке". Из этого и будет понятно что было установление отцовства.

В случае, если было установление отцовства значительно позже чем родился ребенок, то бфа часто просит документально доказать совместное проживание родителей на момент рождения ребенка. Будьте к этому готовы.