Установление факта Вам ничего не даст, допустим установили Вы факт и что Вы будете с этим фактом делать?

Открываем, упомянутую в приведенном Вами решении суда, ст. 268 "Гражданско процессуального кодекса Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 08.12.2020, с изм. от 02.03.2021), в которой имеется прямое указание на осуществление регистрационных действий, и читаем: «Решение суда по заявлению об установлении факта, имеющего юридическое значение, является документом, подтверждающим факт, имеющий юридическое значение, а в отношении факта, подлежащего регистрации, служит основанием для такой регистрации, но не заменяет собой документы, выдаваемые органами, осуществляющими регистрацию.»

Обязывая ЗАГС внести изменения в АЗ, суд, как мы теперь видим (раскрыв текст упомянутой статьи) опирается на установленный юридический факт, а не "просто так" дает распоряжение. В противном случае, при особой "вредности" ЗАГСа, этому органу, как заинтересованному лицу, не составило бы никакого труда оспорить решение суда о внесении изменений в АЗ.