Моя мама родилась в 1914 году, в августе в Санкт-Петербурге. Она носила фамилию отчима - Архангельская, но рассказывала нам, что её настоящая фамилия Клейдер (Кляйдер) и что её отец как германский подданный был выслан из Петербурга сразу после начала войны 1914 года
--------------------------
Я родилась вне брака и считала, что могу наследовать гражданство от матери, которая в свою очередь его унаследовала от своего отца. Мне отказали в получении гражданства, мотивируя отказ тем, что предоставленные мною доказательства наличия у Николая Эрнестовича Клейдера немецкого гражданства являются косвенными.

Я не большой специалист в вопросах гражданства, но так вижу эту ситуацию:

Ваша мама могла получить гражданство Германии от своего отца в 1914 году при рождении, только если ее отец этим гражданством обладал (а не просто был подданым) до ее рождения.

Первый закон о гражданстве был издан в 1913 году кайзером Вильгельмом II http://www.documentarchiv.de/ksr/1913/reichs-staatsangehoe...

Внимательно прочитайте его и посмотрите как и при каких обстоятельствах в период с 1913 по 1914 год Ваш дед мог получить гражданство Германии. Если он проживал в эти годы в России, то вряд ли оно у него было до выдворения из России.