Я пыталась узнать, есть ли смысловая разница в использовании um...zu и damit при одном и том же субъекте.

я бы сказал, что оборот с um zu является частным случаем оборота с damit, и используется как правило в контексте "цель - средство" .

т.е в придаточном предложении обозначается какая-то цель, а в главном предложении описываются средства для достижения этой цели.

в то время как оборот с damit может использоваться и в других значениях.

т.е оборот с um zu всегда можно переделать в damit, но наоборот - не всегда.

например:

Um die Meisterschaft zu gewinnen, muss ich jeden Tag hart trainieren. // цель - средство

Ich muss jeden Tag hart trainieren, damit ich die Meisterschaft gewinne. // цель - средство

или если использовать ваш же пример:

Ich reise lieber alleine, damit ich unabhängiger bin. // факт - причина

Um etwas unabhängiger zu sein, brauche ich ein eigenes Auto. // цель - средство.