Я хотела чтобы в моей Еinbürgerungsurkunde написали: например: Каtеryna (Vatersname: Petrivna) Pusik geb. Filik.
Мне хотят записать Каteryna Petrivna Pusik geb. Filik в Еinbürgerungsurkunde;

у Вас в переводе свид о рождении на нем язык отдельно выведены Name, Vorname und Vatersname. Перевод производился по ISO9 Norm и переводчик ничего не может в нем поменять.
Госслужащий, который выдаёт Einbürgerungsurkunde, перенимает Ваши имена и заполняет форму Einbürgerung по законам Германии. В Германии есть юридическое понятие Vorname, Nachname/Familienname. В юридическом смысле «отчество» в Германии такого понятия нет, поэтому госслужащий не может просто вписать его отдельно в Einbürgerungsurkunde. Поэтому Ваше отчество будет вписано как ggf. Gebursname, Vorname(n).

По сути, нем государство не различает между Vorname und Vatersname после получения нем гражданства, Вы сможете отказаться от ЛЮБОГО из ggf. Geburtsname, Vorname(n), в Вашем случае Katerina Petrivna, т.к. по нем законам у Вас двойное имя и Вы имеете право отказаться от ЛЮБОГО из них. По факту Вы можете даже отказаться от Katerina и будете по немецким документам Petrivna Pusik (geb, Filik).

Коротко ответ на Ваш вопрос: В Einbürgerungsurkunde невозможно вписать/отдельно вывести Vatersname.