Не имея жизненного опыта с размерностями более трёх, нам трудно вообразить гиперсферу в четырёхмерном пространстве.

Прежде, чем говорить о трудности вообразить - надо бы задуматься о нужности таких "воображений".
Лучше вспомните о "Бритве Оккама", которая обрезает ненужные и бессмысленные фантазии.

Находясь на Земле, мы можем поднять голову, чтобы познать находящийся за её пределами Космос. Но мы не можем поднять голову, чтобы заглянуть за пределы Вселенной и познать таким образом содержащую её Гиперсферу. Здравый смысл не имея подтверждений от чувственных данных, будет противиться против такого вывода. В этом случае придётся полагаться на чистый разум (в его кантовском определении).

Ошибаетесь. В этом случае люди как раз отказываются не только от "чистого разума", но и вообще от последних крупиц здравого смысла, предпочитая ему математический абстракционизм.

Но если наш разум осмыслит и согласится со Вселенной заключённой в гиперсфере четырёхмерного пространства, то сразу же возникнет вопрос о границах уже этой Гиперсферы. Делая индуктивное умозаключение мы придём к гиперсферам в пяти-, шести-, семи-, восьмимерных пространствах.

Ну зачем так себя ограничивать?
Переходите для начала к миллионномерному пространству, а там и дальше откроется путь - когда поместят в палату рядом с Наполеоном Бонапартом.