так его не искать, нужно, а реализовать :)
вот держи, с минимальной оптимизацией. допилишь, если нужно:

public function actionTest()
    {
        //вот тут сделаешь чтение посредством mysqli, как тебе нужно в задании
        //я для теста посредством yii загнал все записи в массив ассоциативных массивов
        $cmd = Yii::app()->db->createCommand("select * from table1");
        $items = $cmd->queryAll(true);      
        
        $helper = new SumCalculator($items);
                        
        foreach($items as $item)
        {
            echo "{$item['id']}\t{$item['parent_id']}\t{$item['name']}\t{$item['value']}\t";
            echo $helper->calc($item['id']) . "
\n";
        }
    }

ну и сам расчёт с минимальной оптимизацией

class SumCalculator
{    
    private $sums = [];
    private $key2val = [];//словарь (ключ => значение)
    private $children = []; //словарь (ключ => [child1, child2, ...])
    function SumCalculator($items)
    {
        foreach($items as $item)
        {
            $this->key2val[$item['id']] = $item['value'];            
            if($item['parent_id'] != 0)
            {
                $this->children[$item['parent_id']][] = $item['id'];
            }
        }
    }
    
    public function calc($id)
    {
        if(!isset($this->sums[$id]))
        {
            $sum = $this->key2val[$id];
            if(isset($this->children[$id]))
            {
                foreach($this->children[$id] as $child_id)
                {
                    $sum += $this->calc($child_id);
                }   
            }            
            $this->sums[$id] = $sum;                            
        }
        return $this->sums[$id]; 
    }
}