Еду одна в конце октября
Как там относятся к одиноким девушкам, имею в виду при въезде в страну будет ли дополнительный контроль? Начиталась на некоторых форумах, что девушек проверяют особо, якобы, боятся, что те в публичные дома едут.

с каким паспортом?

если паспорт не ФРГ, а РФ, Украины (особо плохо) или ещё какой-нибудь страны бывшего СССР, то высока вероятность, что будут с пристрастием допрашивать.

при разговоре нужно напирать, что (много лет) живёте в Германии.

Что там с общественным транспортом во время шабата? В какие дни стоит исключить передвижение общественным транспортом: пятница или суббота?

где-то с середины дня пятницы по поздний вечер субботы на общественный транспорт рассчитывать не нужно.

такси - ходят.

Есть ли закрытые для посещения дни у Стены Плача и Храма Гроба Господня?

нет, но может быть закрыто по причинам, которые невозможно предусмотреть (политические, безопасности).

Стоит ли брать гида по Иерусалиму или достаточно путеводителя?

стоит поискать нормальную экскурсию от местного русскоязычного турбюро.