1. Предположим, что возможно равенство
Xn + Yn + Zn (1),
где X > 0 , Y > 0, Z < 0
≈ целые числа, n > 2, n ≈ нечётное
число. Тогда числа X + Y = a ,
Y + Z = b , Z + X = c ≈
целые, поскольку они делители целых чисел, соответственно a|Zn ,
b|Xn , c|Yn , и кроме того, они ≈ n-ые
степени как делители целых n-ых степеней , т. е.
a = dn, b = gn,
c = hn.
Отдельно будет рассмотрен случай, когда одно из чисел X, Y, Z, например, Z ,
делится на n . В этом случае (легко доказать, что при этом не только Z и a ,
но и Zn/a также делится на n) n-ой степенью будет не
a = X + Y, а число na .
Введем вспомогательное число
Q = √ (XY + YZ + ZX) =
Y2 √ ab =
Z2 √ bc = X2 √ ca (2)
ab = Y2 √ Q ,
bc = Z2 √ Q ,
ca = X2 √ Q
2. Перемножим (1) и (2)
(Xn + Yn + Zn )Q =
Xn(X2 √ ca) +
Yn(Y2 √ ab) +
Zn (Z2 √ bc) =
= (Xn+2 + Yn+2 + Zn+2 ) √
(Xn ac + Yn ab+ Zn bc)= 0
(3)
3. Пусть теперь показатель степени ≈ не натуральное число n , а
переменная величина v, стремящаяся к пределу n и пусть у нас будет два вида
одной и той же функции f(v):
f1(v) = (Xv + Yv + Zv )Q(v);
f2 (v) = (Xv+2 + Yv+2 + Zv+2 ) √
[(Xdh)v + (Ydg)v + (Zgh)v].
Поскольку f1(v) = f2 (v) , производные
f1'(v) и f2'(v) в точке v = n также должны
быть равны. Проверим, так ли это.
4. f1'(v = n) = (Xn + Yn +
Zn ) Q'(v=n) + (Xv + Yv + Zv )'Q(n) =
(Xv + Yv + Zv )'Q(n), (4)
поскольку первое слагаемое содержит нулевой сомножитель.
5. f2'(v=n ) = [(Xv)'X2 +
+ (Yv)'Y2 + (Zv)'Z2]+
+[Xn (X2)' + Yn(Y2)' +
+ Zn (Z2)'] √
√ [(Xv)'ac + (Yv)'ab +(Zv)'bc] √
√ [Xn(dvhv)' + Yn (dvgv)' +
+ Zn (gvhv)']
[4.1], [4.2] , [4.3], [4.4]
f2'(v=n) =
(Xv + Yv + Zv )'Q(n) +
{√ [Xn(dvhv)' +
+ Yn (dvgv)' + Zn (gvhv)']}
(5.1, 5.2)
В (5.1) ≈ сумма (4.1) и (4.3). Cлагаемое (4.2) равно нулю,
поскольку производные X2 , Y2, Z2 равны
нулю как производные постоянных при n #2. (Если n = 2, то эти
производные, теперь с показателем v ≈ уже не нули, и тогда
f1' = f2'.)
6. Сравнивая (4) и (5), мы видим, что производные f1' и
f2' не равны, если (5.2) не равно нулю. Доказательство
Теоремы сводится, таким образом , к тому, чтобы убедиться, что это число не
может быть равным нулю.
7. Поскольку производные показательных функций содержат логарифмы, а среди
наших целых чисел есть отрицательные ( Z, b, c, g, h ) , мы, заменяя знаки в
соответствующих местах и используя отличительный шрифт, перейдём от
отрицательных целых к натуральным. Итак, при v = n, n ≈
нечётном (5.2) равно
Xn ac lndh + Yn ablndg +
Zn bclngh (6)
В (6) нет ни одного отрицательного слагаемого, поскольку все
логарифмы ≈ положительные числа , так как d, g, h
≈ натуральные числа >1 и все остальные числа в
(6) ≈ натуральные. Сл-но, (6) ≈ не ноль, что и
требовалось доказать.
8. Пусть Z и n не взаимно просты, тогда существует ненулевая производная
(Z2)" и ненулевое слагаемое
√Zn(Z2)' в (4.2) . Покажем, что
приближённая оценка суммы этого числа с числом (5.2) даёт отрицательное
число. Для этого введём вспомогательное число
T = X + Y √ Z,
X2 + Y2 √ Z2 = = T2 √ 2bc > 0, если
n > 2
X2 √ Y2 + Z2 = =T2+2ab,
√ X2 + Y2 + Z2 = T2
+2ac
ab + ac = Z2 √ T2
< Z2 √ 2bc (7)
При условии X > Y ac < ab и из (7) следует
ac < 1/2 Z2 √ bc ,
ab ~ 1/2 Z2 √ bc
Подставляя эти значения ab и ac в ф. (5.2) и добавляя
слагаемое √Zn(Z2)", получим
(4.2) + (5.2) <
< 1/2 Xn(Z2)' + 1/2 Yn(Z2)'
√ (Xn + Yn)(gvhv)'
+ Zn (gvhv)' √
Zn(Z2)' =
√ 1/2 Zn (Z2)'
Этот нестрогий результат позволяет избежать сложностей, связанных с
использованием формулы Лейбница ≈ И. Бернулли для вычисления
производных сложных функций1. Вывод: получены противоречия,
несовместимые с условиями, предложенными для чисел X, Y, Z, n.
9.Нулевой результат для суммы чисел (4.2) и (5.2) получается при
n = 1 и n = 2, когда есть все три ненулевые производные
в (4.2).