А что не понятно в их ответе? Я так поняла, что АБХ города Аугсбурга не хочет выдавать приглашения просто так,

Начнем с того, что никакое это не приглашение и АБХ никого не приглашает

а а хочет видеть, что оно вам нужно для подачи в конкретное немецкое консульство, в его региональное представительство в России, и что вы к этому относитесь серьёзно, то есть заранее позаботились о термине туда, а не просто так приглашение делаете. Насколько правомерно это - не знаю, но видимо имеют они такое право.

АБХ совершенно не касается, подаст ли иностранец в итоге на визу или передумает.

Задача АБХ - ПРИНЯТЬ волеизъявление персоны, заключающееся в обязательстве возместить согласно параграфам AufentG затраты, могущие возникнуть во время нахождения иностранца.

То есть, их дело УДОСТОВЕРИТЬ, что такой-то человек обязуется возместить затраты ( удостоверить его подпись под обязательством) и дать оценку финансового состояния этого человека ( для того, чтобы сориентировать консульство)

Все.