Нет, и еще раз нет. Гражданство человека влияет лишь на то, нужна ему виза или нет для въезда в Шенген. И это проверяется пограничником.

Это ваше умозаключение. Сам же Кодекс содержит четкие указания что и как проверять пограничнику

Статья 8
Пограничные проверки в отношении лиц
3. При въезде и выезде граждане третьих стран подвергаются обстоятельной проверке следующим образом:
а) обстоятельная проверка при въезде включает в себя проверку соблюдения условий въезда, закрепленных в параграфе 1 статьи 6, а также, когда уместно, проверку документов, дающих право на проживание и осуществление профессиональной деятельности. Эта проверка состоит в подробном изучении, которое охватывает следующие аспекты:
i) проверка того, что гражданин третьей страны обладает для пересечения границы действительным документом с не истекшим сроком годности, и что этот документ сопровождается, при необходимости, требуемой визой или требуемым видом на жительство;
ii) обстоятельное изучение документа на поездку в поисках признаков искажения или подделки;
iii) изучение печатей о въезде и выезде в документе на поездку заинтересованного гражданина третьей страны с целью удостовериться путем сопоставления дат въезда и выезда в том, что данное лицо уже не превысило максимально разрешенный срок пребывания на территории государств-членов;
iv) проверка в отношении пункта отправления и места назначения заинтересованного гражданина третьей страны, а также цели предполагаемого пребывания и, если необходимо, проверка соответствующих подтвердительных документов;
v) проверка того, что заинтересованный гражданин третьей страны располагает средствами к существованию, достаточными на срок и в целях предполагаемого пребывания, для возврата в страну происхождения или для транзита в третью страну, в которую ему гарантирован доступ, либо что он в состоянии законным путем приобрести такие средства;
vi) проверка того, что заинтересованный граждан третьей страны, его транспортное средство и перевозимые им вещи не способны представлять угрозу общественному порядку, внутренней безопасности, общественному здоровью или международным отношениям какого-либо из государств-членов. Данная проверка включает в себя непосредственную консультацию с данными и информационными запросами в отношении лиц и, если необходимо, в отношении предметов, занесенными в СИС и в национальные поисковые базы данных, а также, когда уместно, аналогичную консультацию по поводу мер, подлежащих принятию на основании информационного запроса;
b) если гражданин третьей страны является обладателем визы, указанной в пункте «b» параграфа 1 статьи 6, то обстоятельная проверка при въезде также включает в себя проверку личности обладателя визы и подлинности визы путем консультации с Визовой информационной системой (ВИС) согласно статье 18 Регламента (ЕС) № 767/2008;

Проездной документ - это документ о гражданстве и удостоверение личности гражданина. Изучается именно предъявленный документ.

Право пребывать не более 90 дней в полугодии распространяется на граждан третьих стран как категории людей, а не на гражданина Израиля или России.

В кодексе нет такого положения. Это чисто ваше умозаключение, а не положение Кодекса. Приведите цитату из текста, где прописана позиция именно в такой редакции. Просто авторы кодекса не рассматривали вопрос множественного гражданства, нет предписаний для данного случая. А нормы любого закона - это нормы прямого действия. Это тот случай, когда недостатки закона дают возможность найти в нем лазейки.

Кодекс содержит логическую увязку предполагаемого пребывания сроком 90/180 с действительным документом на поездку, управомочивающим его обладателя пересекать границу.

Пограничнику Кодекс предписывает удостовериться в том , что данное лицо уже не превысило максимально разрешенный срок пребывания на территории государств-членов через изучение печатей о въезде и выезде в документе на поездку заинтересованного гражданина третьей страны. Т.е. изучается предъявленный паспорт, который есть документом о гражданстве лица.

Если человек взял в руки паспорт Израиля вместо паспорта России, он остался гражданином третьих стран в понимании кодекса.

Граждане третьих стран - это совокупность всех граждан стран из вне ЕС. Не существует паспорта гражданина третьих стран. Гражданство - это идентифицирующий лицо признак. Потому лицо при пересечении границы идентифицируется именно как гражданин Израиля, или гражданин РФ. А это разные лица в юридическом плане. И в статистической базе один человек будет учтен как два разных лица, с израильским и российским гражданствами.