ВОПРОС: может ли тетя написать (произвольно) Приглашение, предоставить копии своих Документов для доказательства родства, чтобы племянница в Белоруссии, доказав родство еще и со своими Документами, получила визу?

Тетя, разумеется, может написать приглашение. К нему пусть обязательно приложит ксерокопию своего аусвайса (обе стороны) или, если не немецкое гражданство, ксерокопию загранпаспорта (разворот с личными данными) и ксерокопию ВНЖ (обе стороны карточки).

Если к самописному приглашению она добавит Verpflichtungserklärung (финансовое поручительство, оформляется в АБХ, стОит 25 евро, имеет смысл только тогда, когда у оформляющего VE есть достаточный стабильный доход), то племяннице не надо будет при получении визы доказывать свю финансовую состоятельность. Оформить VE может не только тетя, но вообще любой человек, который имеет нормальный доход и согласится взять на себя финансовые расходы. VE не является обязательным условием для получения визы.

Родство в данном случае доказывать не нужно. Племянница в любом случае не могла бы иметь бесплатную визу, а доказательства родства обычно прилагаются именно с этой целью.