нет, невозможно, он занимал посты в других областях.

Публий Квинтилий Вар занимал одновременно пост имперского легата в Сирии (с прибл. 7 г. до н.э. до прибл. 4 до н.э.) и проконсула в Африке (с прибл. 9 г. до н.э. до прибл. 4 до н.э.). Publius Quinctilius Varus

Были и другие чиновники, которых императоры назначали своими легатами, а сенат проконсулами одновременно. Но Квинтилий Вар управлял Сирией как раз перед Квиринием (в 4 г. до н.э.), что даёт основание утверждать о совмещении должностей как об обычной политической практике в рассматриваемое нами время.

Возвращаясь к надписи на камне из Тиволи #39:

[Он получил как] проконсул провинции Азии [и как легат пропретор] Божественного Августа, во второй раз, провинцию Сирию и Финикию

замечу, что Азия входила в число провинций, управлявшихся сенатом (link), поэтому Квириний мог был быть назначен управлять Азией как проконсул, а Сирией (имперская провинция) как легат императора одновременно. Более того, он мог ещё быть назначен легатом Галатии и Финикии. Все эти провинции находились рядом друг с другом и назначение легатом там или здесь зависело только от воли императора Августа (который также оказывал влияние на решения сената). Так что восстановленный Т. Моммзеном текст (в квадратных скобках) вполне себе отвечает тогдашней политической реальности.

нет, невозможно

Как бы вам того не хотелось, возможно, и даже более чем.