То есть вот это для меня немного по-китайски:

Абстрагируйтесь. Без разницы, как вы создали соединение, без разницы, какое оно, просто используйте его.

1. набишите функцию initDb. в нее поместите код

Class.forName("org.postgresql.Driver");

Этот код будете вызывать только один раз, при старте проги.

2 . Напишите функцию

Set getTakeoffs(String iata) throws SQLException

Обратите вниманиe, что у нее нет параметра "Connection"

Задача у этой функции открыть соединение, вызвать другую функцию, которая собственно и получит данные из Базы данных и закрыть соединение.Я уберу обработку исключений для простоты

Set<Object> getTakeoffs(String iata) throws SQLException{

    conn = DriverManager.getConnection(DB_URL, USER, PASS);

    return getTakeoffs(iata, conn );

    // !!!! finally block used to close resources
    conn.close();
}

3. Напишите функцию

Set getTakeoffs(String iata, Connection dbConnection) throws SQLException

Обратите вниманиe, что у нее есть параметр "Connection".

И что именно ее мы вызвали, когда писали getTakeoffs(iata, conn );

Set<Object> getTakeoffs(String iata, Connection dbConnection) throws SQLException{

      Set<Object> result = new HashSet<>();            

      stmt = conn.createStatement();
      String sql = "SELECT * FROM FLUG";
      stmt.executeQuery(sql);
      ResultSet rs = stmt.executeQuery(query);
      Здесь заполнение списка "result" из ResultSet
      // !!!! finally block used to close resources 
      stmt.close();
      return result;    
}