1. Ну, о таком документе мне, к сожалению, тоже ничего не известно.
Честно сказать, морально и юридически я не была готова к таким проблемам за столь короткий промежуток времени, руководствуясь тем, что изначально все документы были в порядке, доверяя
компетентным органам.

"компетентные органы" часто оказываются некомпетентными, причем в Германии такая некомпетентность разрастается как снежный ком. единственный способ борьбы с этой некомпетентностью - быть компетентнее этих органов.

2. Мне тоже интересно, почему были проблемы на въезде, хотя и с выездом до сих пор не все понятно.
Я показала здесь все документы, которые имеют отношение к данному делу и даже справку, которые мне выдали на границе на въезде. Других документов у меня нет.
В паспорте стоит только виза, которую я здесь продемонстрировала и больше никаких пометок или вклеек там нет.
Возможно, есть какие то нити между проблемой на въезде и выезде...не знаю, мне сложно это понять.
Документы (разные оригиналы свидетельства и по ребенку в том числе) на въезде я тоже показывала пограничнику. Но только после того, как начался конфликт. Чтобы убедить ее в том, что у меня все в
порядке.

к сожалению о сути этого конфликта Вы, очевидно, ничего не можете поведать... может быть пограничники спросили, сколько лет ребенку?

для меня единственным подозрительным моментом выглядит запись в визе "Mit Bedienungen / Auflagen versehen", но никакой другой Auflage, кроме "Aufenthaltsanzeige nach Einreise" я не вижу.

справку, которую Вам дали на ВЪЕЗДЕ Вы не показывали.