можете привести пример подобного преобразования Untätigkeitsklage в Fortsetzungsfeststellungsklage?

Вот примеры, это обычная практика

LG Hessen, U.v. 27.08.2025, Az.: L 4 SO 42/25;

VG Karlsruhe, U.v. 30.07.2025, Az.: 2 K 2706/24;

BSG 12. Senat, B.v. 04.04.2025, Az.: B 12 KR 26/24 BH;

BayVGH, B.v. 21.03.2023, Az.: 19 ZB 21.689;

VG Potsdam, U.v. 16.08.2023, Az.: 5 K 723/21.

"...Zweck, dem die Fortsetzungsfeststellungsklage dient. Sie soll verhindern, dass ein Kläger, der infolge eines erledigenden Ereignisses seinen ursprünglichen, den Streitgegenstand kennzeichnenden Antrag nicht weiterverfolgen kann, um die „Früchte“ der bisherigen Prozessführung gebracht wird (BVerwG, Urteil vom 24. Januar 1992 - 7 C 24.91 - a.a.O.), insbesondere dann, wenn das Verfahren unter entsprechendem Aufwand einen bestimmten Stand erreicht hat und sich mit der Erledigung des ursprünglichen Antrags die Frage stellt, ob dieser Aufwand nutzlos gewesen sein soll und der Kläger wegen der (häufig nicht auf sein Verhalten zurückgehenden) Erledigung in diesem Verfahren leer ausgehen muss (BVerwG, Urteil vom 18. April 1986 - 8 C 84.84 - Buchholz 310 § 161 VwGO Nr. 69 S. 13 m.w.N.), m.w.N. BVerwG, Urteil vom 4. Dezember 2014 – 4 C 33/13 –, BVerwGE 151, 36-44