Прежний номер регистрации на сертификате ТС соответствует новому и учреждение допущено к ДСХ тестированию.

И что с того? Договоренность университетских ректоров о правилах проведения экзамена по немецкому языку для поступления в Уни и натурализация иностранцев это два разных процесса. Ведь было время когда они друг друга не особо жаловали и с "чужим" DSH-Цойгнисом в "свой" Уни могли и не пустить. А договорились таки наконец, согласовали между собой список Хохшулей и Штудиенколледжей, вот и ладненько. К Айнбюргерунгу это никаким боком. StBH это не немецкие Уни, а немецкие Уни это не StBH. Можно конечно пытаться скрестить ежа и ужа, может даже и получится. Но не факт.

P.S. Хотя в приведенном Вами списке более чем 6-ти летней давности, дата "гюльтиг бис" для FaM больше года уже как тавой, ту-ту..., это не проблема - если не пересогласовали еще, то пересогласуют новый.

Для чего нужно экстра делать запрос в BAMF?

Если не хочется, то можно его и не делать. Попытка обойтись и так, уже была. Вследствие чего и возникла эта ветвь.

Преимущество предварительного обращения в БАМФ по поводу верификации, в т.ч. и университетской или околоуниверситетской бумаги в том, что этот путь беспроигрышный. В отличие от остальных, включая состязательный в суде и "собеседование на месте", которые еще бабка надвое сказала чем и как закончатся.