Как мне подсказывают, прежде чем подавать Verfassungsbeschwerde, нужно отправить Anhörungsrüge

Там на самом деле всё очень сложно. Существует мнение VGH München, согласно которому die Anhörungsrüge ist nicht statthaft, sofern sie auf die Abänderung der in dem angegriffenen Beschluss getroffenen Kostenentscheidung gerichtet ist (см. тут и тут). В итоге всё зависит от того, что именно и какими словами обжаловать, поэтому некоторые источники рекомендуют подавать параллельно и Anhörungsrüge, и Verfassungsbeschwerde:

§ 152a findet seinem Wortlaut nach nur auf Gehörsverletzungen Anwendung. Die Verletzung anderer verfassungsrechtlich geschützter Verfahrensgarantien wie zB die Verletzung des Anspruchs auf den gesetzlichen Richter soll – zumindest durch direkte Anwendung der Regelung – nicht mit der Anhörungsrüge verfolgt werden können (BVerwG BeckRS 2013, BECKRS Jahr 49818 mwN); diskutiert wird aber eine analoge Anwendung der Norm (→ BECKOKVWGO VWGO § 152A Randnummer Rn. 25). Die Durchführung des fachgerichtlichen Anhörungsrügeverfahrens ist in der Regel Voraussetzung für die Erhebung einer Verfassungsbeschwerde, mit der die Verletzung des rechtlichen Gehörs gerügt wird (BVerfG BeckRS 2018; BECKRS Jahr 37473; NJW 2005, NJW Jahr 2005 Seite 3059). Deckt die Anhörungsrüge jedoch nicht den gesamten Streitgegenstand ab, empfiehlt es sich die Anhörungsrüge parallel zur Verfassungsbeschwerde einzulegen, um dem Argument der fehlenden Rechtswegerschöpfung die Grundlage zu entziehen (Zuck NVwZ 2005, NVWZ Jahr 2005 Seite 739 ff.; Kopp/Schenke Rn. 16c).

Цена вопроса Anhörungsrüge (в случае её отклонения) - 66 евро.