Он сказал, что это можно без участия адвоката делать.

Можно, но это снижает эффективность от привлечения адвоката. Или он с Вас денег не брал за такое поседственное участие в процессе?

И ещё то, что если наш антраг на §24 изначально не имел никакого шанса на успех, то об этом тоже никто из адвокатов не говорил.

Какой же адвокат сразу скажет, что обращаться к нему нет смысла? Разве только бесплатный, то есть, за услуги которого платит государство.

Сколько будет приблизительная сумма для нас к оплате из 5000?

За отказ в выдаче FB - 241,5 евро (если удачно оспорите Streitwert, то 178,5 евро). За сам иск о бездеятельности - 483 евро, если будете настаивать именно на выдаче § 24 и при этом суд признает отказ в § 24 законным, 0 - если в итоге суд ограничится только решением по вопросу бездеятельности АВН и при этом признает АВН виновным в бездеятельности, 161 евро - если отзовёте иск до принятия судом решения по сути.

И если даже оспаривать это можно только с адвокатом, которого тоже оплачивать надо, то стоит ли начинать?

Адвокат обязателен только начиная со второй инстанции, куда Вы можете попасть либо после отказа по сути судом первой инстанции, либо при обжаловании Streitwert, установленного судом первой инстанции.