Продление Ауфентхальт и бессрочный Niederlassungserlaubnis
Именно как сочинение. 
На листе бумаги пишется: Hiermit beantrage ich... , число, подпись. И отправить письмом, лучше всего заказным. В Германии это уже считается заявлением, хотя об этом многие не знают. Другое дело, что наверняка пригласят прийти с "недостающими документами" и заполнить стандартную анкету, а для NE еще и снимут отпечатки пальцев.
(Знаю несколько человек, которые за прошедший год никак не могли получить термин на сдачу документов в "смежное" ведомство (ЕБХ) и отправляли таким образом заявление на гражданство. Разумеется, их всех потом пригласили прийти лично со всеми документами, но им-то именно это и было нужно, поскольку термины онлайн отсутствовали в принципе, на телефонные звонки и email амт не реагировал, а подать документы на гражданство очень
хотелось. 
)