На справке уже указано, что гражданство у всех "ungeklärt".

Почему "ungeklärt"? Ладно новорожденный, там ещё нужно разбираться (по крайней мере, АВН), а остальные члены семьи почему "непроделённые"? Вы предъявляли АВН справку о выходе из гражданства рф? У Вас было только гражданство рф или ещё какие-нибудь? Вы о них сообщали при регистрации места жительства?

Фамилия у Вас нерусская. Вы часом не проживали на территории Автономной Республики Крым, Донецкой или Луганской областей Украины по состоянию на 2014 год?

Откуда мне было знать, что есть другие формы?

Могли бы спросить тут, раз уж Вы с апреля начали интересоваться своим вопросом на этом форуме...

Я так и написал в своем заявлении, что либо Reiseausweis für Staatenlose, либо Ausweisersatz.

Вы это заявление отправили заказным письмом в АВН? На мейл?

В выданных "справках" стоит "личный" и-мэйл сотрудника. Я написал ему уточняющий вопрос и он мне даже сразу ответил, но письмо подытожил писать на общую почту, а не на этот адрес. Это законное требование?

По большому счёту АВН вообще не обязано пользоваться обычным email'ом, точнее даже должно не пользоваться им из-за Datenschutz. Поэтому Вы их тут не прижучите, наоборот, скажите спасибо, что они с Вами в принципе общаются, а не игнорируют как остальных иностранцев.