Муж не подпишет ПМЖ. И что дальше?!?
Тут можете посмотреть, как задействована служба занятости (и закон о занятости) в различных параграфах закона о пребывании (Aufenthaltsgesetz)
https://www.arbeitsagentur.de/datei/dok_ba013276.pdf
Документ (если ссылка устареет) называется Fachliche Weisungen Aufenthaltsgesetz (Bundesagentur für Arbeit)
Есть еще такие же пояснения к закону о занятости (Beschäftigungsverordnung) действующие до 19.06.2021:
https://www.arbeitsagentur.de/datei/weisung201606018_ba014...
Документ (если ссылка устареет) называется Fachliche Weisungen zur Beschäftigungsverordnung (Bundesagentur für Arbeit)
Тут можете почитать об особенностях перехода с одного параграфа закона о пребывании на другой (Aufenthaltsgesetz).
В вашем случае с Familiäre Gründe (§§ 27-36 AufenthG) на другие параграфы.
https://www.bamf.de/SharedDocs/Anlagen/DE/EMN/Studien/wp67...
Документ (если ссылка устареет) называется Wechsel zwischen Aufenthaltstiteln und Aufenthaltszwecken in Deutschland (BAMF)
Спасибо на добром слове и приятного чтения. 