Но не ясно, потом обязана жить сколько месяцев в EU (есть ли такие правила)?

Таких правил нет, как и нет 100%ной гарантии, что кратковременные приезды прервут срок отсутствия в ЕС.

Когда прилетаю в Германию 3-4 раза в год по 2-4 недели (в общей сумме получается около 3 месяца в Германии, а остальные 9 месяцев в Москве), то это возможно в рамках DA-EU или это нарушение?

Однозначного ответ на этот вопрос на данный момент нет, поскольку закон неоднозначный, а судебная практика, которая могла бы разъяснить этот момент, отсутствует.

2) Как понимаю Lebensunterhalt gesichert – это либо постоянное получение зарплаты, либо обладание недвижимостью, которую надо сдавать, чтобы было постоянное получение денег на счету.

Не только, но в целом да, нужны доказательства постоянной финансовой обеспеченности, в т.ч. её положительный прогноз на будущее.

Кстати, когда уволилась, то решила получить немецкий паспорт, считая, что тогда не будет проблем с жительством за пределами EU, если каким-то способом сохраню российский паспорт.

Сохранить российский паспорт (точнее, гражданство) при натурализации в Германии у Вас, скорее всего, не получится.

Но при первой же встрече с представительницей администрации, та сказала, что без зарплаты нельзя подавать документы на немецкий паспорт.

Подавать заявление можно всегда и ЕВН обязано будет его принять, а вот получить по этому заявлению положительное решение - только в том случае, если будут выполняться предпосылки, установленные законом, среди прочего - gesicherter Lebensunterhalt. Это может быть не только немецкая зарплата.